Persamaan Diferensial Orde Kedua

Bentuk :

Persamaan karakteristik diperoleh :

dimana ; dan y= 1
Pemecahan persamaan diferensial orde kedua tergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya. Apabila :

1. Kedua akarnya riil dan berbeda, dimana m = m₁ dan m = m₂
   Maka solusinya :
   Contoh : Pecahkan persamaan differensial orde kedua berikut
   
   Pada persamaan differensial di atas, persamaan karakteristiknya menjadi . Sehingga akar-akarnya berbentuk dimana dan . Dengan demikian solusi untuk persamaan adalah
   Pembuktian :
   
   Jika f(x) = 0, maka persamaannya :
   
   Misalkan y = u dan y = v (u dan v fungsi dari x), sehingga berdasarkan persamaan di atas diperoleh
   dan
   Dengan menggabungkan keduanya, maka
   
   Dari persamaan di atas, diketahui bahwa
   dan
   Sehingga persamaan di atas juga dapat ditulis
   
   Pada persamaan , jika a = 0, maka diperoleh persamaan orde pertama , yaitu dengan
   Dengan pemisahan variabel :
   
   Jadi :
   (karena e^c konstan)
   Jika -k dinyatakan dengan m, maka persamaan di atas dapat ditulis . Dengan melakukan substitusi ke bentuk persamaan differensial orde kedua dimana dan , diperoleh . Jika kedua ruas dibagi dengan , maka . Bentuk persamaan kuadrat ini memberikan dua akar m = m₁ dan m = m₂, sehingga diperoleh dua pemecahan bagi persamaan semmula yaitu dan . Dengan demikian, pemecahan untuk persamaan differensial orde kedua yang berbentuk adalah
2. Kedua akarnya riil dan sama, dimana m = m₁ atau m = m₂
   Maka solusinya :
   Contoh : Pecahkan persamaan differensial orde kedua berikut
   
   Pada persamaan differensial di atas, persamaan karakteristiknya menjadi . Sehingga akar-akarnya berbentuk dimana (dua kali). Dengan demikian solusi untuk persamaan adalah
   Pembuktian :
   Jika akar - akarnya m = m₁ = m₂, maka pemecahan persamaan adalah dan . Akan tetapi, karena setiap persamaan differensial orde kedua selalu memberikan dua buah konstanta sembarang, maka harus ada suku lain yang memuat konstanta kedua tersebut, yaitu . Sehingga pemecahan untuk persamaan akan menjadi
3. Kedua akarnya kompleks, dimana m = α ± jβ
   Maka solusinya :
   Contoh : Pecahkan persamaan differensial orde kedua berikut
   
   Pada persamaan differensial di atas, persamaan karakteristiknya menjadi . Sehingga nilai akar-akarnya :
   
   Dari akar-akar di atas diketahui bahwa dan . Dengan demikian solusi untuk persamaan adalah
   Pembuktian :
   Jika akar - akarnya kompleks , yaitu dan , maka pemecahan persamaan adalah :
   
   Ingat bahwa:
   
   Maka :
   
   dengan:
   A = (C+D)
   B = j(C-D)

Untuk persamaan yang memiliki bentuk , perhatikan persamaan . Jika b = 0, maka :

Bentuk persamaan di atas dapat ditulis sebagai , yang mencakup kedua kemungkinan koefisien y (positif atau negatif). Solusi untuk persamaan ini adalah :

1. Jika , maka
   Berdasarkan persamaan di atas, maka . Bentuk ini serupa dengan dimana α = 0 dan β = n. Dengan demikian solusi untuk persamaan yang memiliki bentuk adalah
   Contoh : Pecahkan persamaan differensial orde kedua berikut
   
   Pada persamaan di atas diketahui bahwa n = 16, sehingga
   
2. Jika , maka
   Berdasarkan persamaan di atas, maka , sehingga . Ingat bahwa :
   
   Jika kedua persamaan tersebut dijumlahkan, maka diperoleh
   
   Jika kedua persamaan tersebut dikurangkan, maka diperoleh
   
   Dengan demikian, dapat ditulis sebagai
   
   Contoh : Pecahkan persamaan differensial orde kedua berikut
   
   Pada persamaan di atas diketahui bahwa n = 3, sehingga
   

Pemecahan Lengkap Persamaan Differensial Orde Kedua

Di bawah ini tabel bentuk umum integral khusus.

Contoh :
Pecahkan persamaan differensial

1. Fungsi Komplementer (FK)
   Fungsi Komplementer (FK) diperoleh jika . Sehingga persamaan karakteristiknya adalah :
   
   Dari persamaan di atas diketahui bahwa m₁ = -2 dan m₂ = -3. Dengan demikian fungsi komplementernya adalah
2. Integral Khusus (IK)
   Perhatikan persamaan pada ruas kanan dan sesuaikan dengan tabel di atas. Karena ruas kanan berbentuk , maka berdasarkan tabel di atas untuk integral khusus digunakan bentuk umum berderajat dua. Jadi, bentuk umum ruas kanan menjadi
   
   Dengan melakukan substitusi persamaan-persamaan di atas ke dalam persamaan sebenarnya, diperoleh
   
   Selanjutnya, samakan koefisien-koefisien x yang memiliki pangkat sama antara ruas kiri dan ruas kanan
   
   Jadi integral khusus-nya adalah

Jawaban sebenarnya untuk persamaan adalah penjumlahan dari Fungsi Komplementer (FK) dan Integral Khusus (IK). Jadi penyelesaian untuk adalah